Спектр - видим почти то, что слышим.

В откликах, поступивших на адрес моей электронной почты после публикации в КТ N 31,32 темы "Цифра и Звук", довольно часто встречается просьба максимально просто, без математики объяснить, что такое спектр (график спектра сигнала), полученный с помощью БПФ (Быстрого Преобразования Фурье), и какая от него польза. И так, на графике спектра мы видим результат сравнения сигнала с набором синусоидальных колебаний с разными постепенно увеличивающимися на постоянную величину частотами (по оси X). Чем больше похож сигнал на синусоиду с данной образцовой частотой, тем больше величина пика на графике по оси Y. Таким образом, чисто синусоидальный сигнал должен иметь график спектра в виде одиночного пика. Так и есть на самом деле, но только если частота такого сигнала точно совпадает с частотой одной из образцовых синусоид. В противном случае сигнал в некотором смысле (корреляции) будет похож и на близ лежащие по частоте образцовые синусоиды и, следовательно, на графике спектра появятся дополнительные пики. Вот это уже можно назвать парадоксом. Сигнал, реально состоящий из одной синусоиды, представится нам как сумма нескольких синусоид. Этот парадокс характерен именно для БПФ спектров. Другими словами, если мы оцифруем, скажем, аналоговый синусоидальный сигнал частотой Fs на частоте F1 и F2, то БПФ спектры одной и той же синусоиды могут выглядеть по-разному. То есть цифровой БПФ спектр одного и того же сигнала может выглядеть по-разному. Не улучшает ситуацию популярный метод наложения "окна" или предварительного (до обработки БПФ) "взвешивания" (умножения) отсчетов на некоторые функции, обычно имеющие вид колокола. Этот метод приводит практически к полному абсурду, ведь после него "размывается" и расщепляется даже одиночный пик на графике БПФ (см. рис. 4). Кроме того, на рисунках. 3 и 4 видно значительное уменьшение амплитуды пиков по оси Y (на 4 и 9 дБ соответсвенно, относительно 0 дБ). При непродуманном использовании результатов БПФ это может привести к значительным ошибкам в измерениях.

Рис. 1. Синусоидальный сигнал.

Рис. 2. Спектр БПФ синусоидального сигнала в случае совпадения его частоты с одной из образцовых частот БПФ.

Рис. 3. Спектр БПФ синусоидального сигнала в случае не совпадения его частоты ни с одной из образцовых частот БПФ.

Рис. 4. Спектр БПФ синусоидального сигнала в случае совпадения его частоты с одной из образцовых частот БПФ и предварительной обработкой отсчетов методом наложения окна Blackman-Harris.
К счастью, существуют более точные методы вычисления спектров, широко применяемые в статистическом анализе временных рядов (анализ курса доллара и т.д.), свободные от описанного выше эффекта "расщепления", но зато имеющие другие недостатки.
Но даже с учетом выше перечисленных недостатков БПФ спектр позволяет наблюдать интересные явления. Например, весьма занимательно и информативно рассматривать, как изменяется график БПФ спектра некоторого сигнала во времени. На рис. 1 вы можете видеть такой график для сигнала скрипки.

Рис. 5. График БПФ звукового сигнала скрипки.
По оси Х - частота, по Y - время и в "третьем измерении" - амплитуда синусоид, из которых "по мнению" БПФ, состоит сигнал. Парадоксально, но столь сложный с точки зрения цифрового спектрального анализа по методу БПФ сигнал субъективно ощущается как монолитный, цельный и "простой" звук определенной высоты (частоты).
Человеческое ухо физиологически имеет около 20 тысяч резонаторов (это не совсем точно, специалисты по анатомии человека меня поправят, но для дальнейшего изложения их поправки не существенны), настроенных на разные частоты, покрывающие весь слышимый человеком диапазон от 10..20 гц до 20..25 Кгц. Если во входном звуковом сигнале содержится синусоидальное колебание с частотой близкой к частоте настройки одного из резонаторов, на выходе этого (резонатора) появится электрическое напряжение, пропорциональное мощности колебания, и по нервам поступит в мозг для дальнейшего анализа. Я уверен, что эффект "расщепления" или "размывания" спектра имеет место быть и в человеческом ухе. Синусоидальный сигнал возбуждает не только резонатор, точно настроенный на его частоту, но и несколько соседних. Однако при последующей обработке в мозге "расщепление" устраняется. Во всяком случае, синусоидальный сигнал мы всегда слышим как чистый простой тон. Таким образом, по крайней мере, на первом этапе функционирование нашего слуха весьма напоминает вычисление спектра с помощью ПФ. Видимо это и определяет популярность использования БПФ, спектрального анализа, графических эквалайзеров и индикаторов в звуковоспроизводящей и записывающей аппаратуре и в программном обеспечении персональных компьютеров, предназначенном для обработки звуковых файлов (см. CoolEdit, WaveLab, Sound Forge и др.). Однако человеческий слух обладает свойством маскирования в частотной области (и во временной тоже), подробно описанном в моей статье "Компрессия звуковых данных" (КТ N 32). Кроме того, человеческий слух менее чувствителен к самым низким и самым высоким частотам. Можно считать, что частоты ниже 10 Гц и выше 25 Кгц подавляющее большинство людей не слышит. В результате, на графике БПФ звукового сигнала некоторые частоты будут показаны, хотя реально они не будут слышны или будут значительно ослаблены.